Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
（1）如果P、E、F分別是BC、AC、BD的中點（如圖1），求證：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上任意一點，（中點除外），過P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F（如圖2），那么AB=PE+PF還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；
（3）如果P為BC的延長線上任意點，（2）中的其它條件不變（如圖3），請你直接寫出AB、PE、PF三條線段的確定的數量關系．（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）由于PF是△BDC的中位線，PE是△ABC的中位線而AB=CD，故有PF=PE
（2）延長PE交AD于G，易證：四邊形ABPG為平行四邊形，可證：△AEG≌△BPF，得EG=PF，故有AB=PG=PE+PF
（3）延長AD交EP于G，易證：四邊形DGPC為平行四邊形，可證：△DFG≌△CPF，得FG=PF，故有AB=PG=PE-PF

解答：（1）證明：∵P、F分別為BC、BD的中點，
∴PF=

1

2

CD，（1分）
同理：PE=

1

2

AB，
又∵AB=CD，
∴PF=

1

2

AB，（2分）
∴AB=PE+PF；（3分）

（2）答：成立，AB=PE+PF．（4分）
∵AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB且BC為公共邊，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠FBP，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠FBP，
∵FP∥CD，
∴∠FPB=∠DCB．
∴∠FPB=∠AGE．
∴△AEG≌△BPF（ASA）．
∴AB=PG=PE+PF．（8分）

（3）答：AB=PF-PE．（10分）

點評：本題利用了三角形中位線的性質，等腰梯形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質求解．