Question

已知點I是銳角三角形ABC的內心，A₁，B₁，C₁分別是點I關于BC，CA，AB的對稱點，若點B在△A₁B₁C₁的外接圓上，則∠ABC等于

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

C
分析：首先根據題目說明勾勒如圖所示．通過圖很容易知道IA₁=IB₁=IC₁=2r（r為△ABC的內切圓半徑）．在Rt△IBD中，利用直角三角形性質，斜邊是直角邊的2倍，則該直角邊所對的角為30°．即可知∠IBD=30°．同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°．問題得解．
解答：解：∵IA₁=IB₁=IC₁=2r（r為△ABC的內切圓半徑）
∴I點同時是△A₁B₁C₁的外接圓的圓心
設IA₁與BC的交點為D，則IB=IA₁=2ID
∴∠IBD=30°
同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°
故選C．
點評：本題考查三角形的內切圓與內心、三角形外接圓與外心、直角三角形的性質．解決本題的關鍵是首先根據題意畫出幾何圖形，再將求角大小轉化為在直角三角形中求角的大小．