Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函數的解析式及圖象的對稱軸；
（2）點P從B點出發以每秒0.1個單位的速度沿線段BC向C點運動，點Q從O點出發以相同的速度沿線段OA向A點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形ABPQ為等腰梯形；
②設PQ與對稱軸的交點為M，過M點作x軸的平行線交AB于點N，設四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關于時間t的函數解析式，并指出t的取值范圍；當t為何值時，S有最大值或最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道二次函數的解析式經過三點，把三點坐標代入就能求得函數解析式，由解析式寫出對稱軸．
（2）①過點B，點P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，算出時間t．
②設對稱軸與BC，x軸的交點分別為F，G，根據題意求出PF=QG，MFP≌△MGQ，由S=S_{四邊形ABPQ}-S_△BPN列出函數關系式，求出最小值．
解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點C（0，-3），
∴c=-3，
將點A（3，0），B（2，-3）代入y=ax²+bx+c
得
解得：a=1，b=-2．
∴y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
所以對稱軸直線為：x=1；

（2）①由題意可知：BP=OQ=0.1t，
∵點B，點C的縱坐標相等，
∴BC∥OA，
過點B，點P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，
要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，
∵BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，
∴△ABD和△QPE為直角三角形，
當PQ=AB時，又∵BD=PE，
∴Rt△ABD≌Rt△QPE（HL），
∴QE=AD=1．
∵ED=BP=0.1t，DO=BC=2，
∴EO=2-0.1t，
又∵QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1，
解得t=5．
即t=5秒時，四邊形ABPQ為等腰梯形．
②設對稱軸與BC，x軸的交點分別為F，G．
∵對稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，∠MFP=∠MGQ=90°，
∴△MFP≌△MGQ（AAS），
∴MF=MG，
∴點M為FG的中點，
∴S=S_{四邊形ABPQ}-S_△BPN=S_{四邊形ABFG}-S_△BPN．
由S_{四邊形ABFG}==．
，
∴S=．
又∵BC=2，OA=3，
∴點P運動到點C時停止運動，需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴當t=20秒時，面積S有最小值3．
點評：本題主要考查二次函數的應用，會求二次函數的對稱軸等一系列問題，求最值問題一般可以轉化為函數的最值問題，此題比較繁瑣，做題需要耐心．