Question

我們知道，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形除了具備平行四邊形的一切性質還有其特殊的性質；同樣，黃金矩形是特殊的矩形，因此黃金矩形有與一般矩形不一樣的知識．已知平行四邊形ABCD，∠A＝60°，AB＝2a，AD＝a．

(1)把所給的平行四邊形ABCD用兩種方式分割并作說明(見表格里的示例)；

要求：用直線段分割，分割成的圖形是學習過的特殊圖形且不超出四個．

(2)圖中關于邊、角和對角線會有若干關系或問題．現在請計算兩條對角線的長度．

要求：計算對角線BD長的過程中要有必要的論證；直接寫出對角線AC的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：在表格中作答 　　(2)分析：(1)方案一：分割成兩個等腰梯形； 　　方案二：分割成一個等邊三角形、一個等腰三角形和一個直角三角形； 　　(2)利用平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理作答，認真計算即可． 　　解：(1)在表格中作答： 　　(2)如圖①，連接BD，取AB中點E，連接DE． 　　∵AB＝2a，E為AB中點， 　　∴AE＝BE＝a， 　　∵AD＝AE＝a，∠A＝60°， 　　∴△ADE為等邊三角形，∠ADE＝∠DEA＝60°，DE＝AE＝a， 　　又∵∠BED＋∠DEA＝180°， 　　∴∠BED＝180°－∠DEA＝180°－60°＝120°， 　　又∵DE＝BE＝a，∠BED＝120°， 　　∴∠BDE＝∠DBE＝(180°－120°)＝30°， 　　∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝60°＋30°＝90° 　　∴Rt△ADB中，∠ADB＝90°， 　　由勾股定理得：BD2＋AD2＝AB2，即BD2＋a2＝(2a)2， 　　解得BD＝a． 　　如圖②所示，AC＝2OC＝2＝2＝2·a＝a． 　　∴BD＝a，AC＝a． 　　點評：本題是幾何綜合題，考查了四邊形(平行四邊形、等腰梯形、菱形、矩形)、三角形(等邊三角形、等腰三角形、直角三角形)的圖形與性質．第(1)問側重考查了幾何圖形的分割、剪拼、動手操作能力和空間想象能力；第(2)問側重考查了幾何計算能力．本題考查知識點全面，對學生的幾何綜合能力要求較高，是一道好題