Question

（2013•鐵嶺）如圖，點G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖所示是位置出發，沿直線AB向右勻速運動，當點G與B重合時停止運動．設△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運動時間為t，則S與t的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：設GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運動的速度為1，分類討論：當E點在點A左側時，S=0，其圖象為在x軸的線段；當點G在點A左側，點E在點A右側時，AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，易證得△GAP∽△GEF，利用相似比可表示PA=

b

a

（a+m-t），S為圖形PAEF的面積，則S=

1

2

[

b

a

（a+m-t）]•（t-m），可發現S是t的二次函數，且二次項系數為負數，所以拋物線開口向下；當點G在點A右側，點E在點B左側時，S為定值，定義三角形GEF的面積，其圖象為平行于x軸的線段；當點G在點B左側，點E在點B右側時，和前面一樣運用相似比可表示出PB=

b

a

（a+m+c-t），S為△GPB的面積，則S=

b

2a

（t-a-m-c）²，則S是t的二次函數，且二次項系數為，正數，所以拋物線開口向上．

解答：解：設GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運動的速度為1，
當E點在點A左側時，S=0；
當點G在點A左側，點E在點A右側時，如圖，
AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，
∵PA∥EF，
∴△GAP∽△GEF，
∴

PA

EF

=

GA

GE

，即

PA

b

=

a+m-t

a

∴PA=

b

a

（a+m-t），
∴S=

1

2

（PA+FE）•AE=

1

2

[

b

a

（a+m-t）]•（t-m）
∴S是t的二次函數，且二次項系數為負數，所以拋物線開口向下；
當點G在點A右側，點E在點B左側時，S=

1

2

ab；
當點G在點B左側，點E在點B右側時，如圖，
GB=a+m+c-t，
∵PA∥EF，
∴△GBP∽△GEF，
∴

PB

EF

=

GB

GE

，
∴PB=

b

a

（a+m+c-t），
∴S=

1

2

GB•PB=

1

2

（a+m+c-t）•

b

a

（a+m+c-t）=

b

2a

（t-a-m-c）²，
∴S是t的二次函數，且二次項系數為，正數，所以拋物線開口向上，
綜上所述，S與t的圖象分為四段，第一段為x軸上的一條線段，第二段為開口向下的拋物線的一部分，第三段為與x軸平行的線段，第四段為開口向上的拋物線的一部分．
故選D．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象：先根據幾何性質得到與動點有關的兩變量之間的函數關系，然后利用函數解析式和函數性質畫出其函數圖象，注意自變量的取值范圍．