Question

【題目】如圖，，是以為直徑的上的點，，弦交于點．

（1）當是的切線時，求證：；

（2）已知，是半徑的中點，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）線段的長為

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑知∠BAD+∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切線知∠PBD+∠ABD＝90°，利用圓周角定理得出∠BAD＝∠DCB，進而得證；

（2）連接OC，根據得出∠AOC＝∠BOC＝90°，利用勾股定理求出CE的長，通過證明△ADE∽△CBE得出，進而求解．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，

∴∠BAD＝∠PBD，

又∵∠BAD＝∠DCB，

∴∠PBD＝∠DCB；

（2）解：連接OC，

∵，AB是直徑，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

∵OA＝4，E是半徑OA的中點，

∴，AE＝2，BE＝6，

∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴，即，

∴，

解得，，

∴線段的長為．