Question

（1998•杭州）如圖，已知⊙O₁，與⊙O₂外切于點P，過⊙O₁上的一點B作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C、D，直線BP交⊙O₂于點A，連接DP，DA，
（1）求證：△ABD∽△ADP；
（2）若AD=，BP=3，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）兩圓相切一般作它們的公切線，然后利用弦切角，可以得到角的關系，進一步證明三角形相似；
（2）利用（1）的結論，得到AD²=AP•AB，然后把已知條件，代入得到關于PA的方程．解方程就可以求出AB的長．
解答：（1）證明：過P作兩圓的公切線EF．
∴∠FPA=∠ADP．
又∵DB是⊙O₁的切線，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APF，
∴∠ADP=∠CBP．
又∠A公共，
∴△ABD∽△ADP；

（2）解：∵△ABD∽△ADP，
∴AD²=AP•AB，
而AD=，BP=3，
∴=AP×（AP+3），
∴AP²+3AP-28=0，而AP＞0，
∴AP=4．
∴AB=3+4=7．
點評：此題考查了兩圓相切的常用輔助線：作兩圓的公切線．然后利用切線的性質找到角的關系，證明三角形相似，再利用相似三角形的性質解決題目問題．