Question

探索發現：
（1）如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積為S，則△ACD的面積為

 

．
聯系拓展：
（2）在圖2中，E、F分別是?ABCD的邊AB、BC的中點，若?ABCD的面積為S，求四邊形BEDF的面積？并說明理由．
（3）在圖3中，E、F分別是?ABCD的邊AB、BC上的點，且AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，若?ABCD的面積為S，則四邊形BEDF的面積為

 

．
解決問題：
（4）如圖4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n為常數，且n＞0）．E是AB邊上的一個動點，F是BC邊上的一個動點．若在兩點運動的過程中，四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的

1

2

，請探究線段AE、BF應滿足怎樣的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）從陰影部分底邊是三角形ABC第邊的一半而解得；
（2）連接BD，從陰影部分占所在三角形面積多少算起而得；
（3）連接BD，同理（2）而解得；
（4）連接BD，由題意列式子從而得．

解答：解：（1）∵AD為三角形ABC的底邊中線，
∴DC為BC的一半，
由圖可知△ABC與△ADC同高，
又知△ABC面積為S，
∴三角形ADC面積為

1

2

S，
故填

1

2

S；

（2）連接BD，
∵E，F分別為邊AB，BC的中點，
∴同理（1）可知△BED面積為△ABD面積的一半，△BDF面積為△BDC面積的一半，
又∵?ABCD面積為S，
∴四邊形BEDF面積為

1

2

S；

（3）連接BD，
∵AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，
∴計算同理于（2），
∵?ABCD的面積為S，
∴四邊形BEDF為

1

2

S．
故填

1

2

S；

（4）連接BD，
由題意四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的一半，
即AB•BC=2（

1

2

BE•AD+

1

2

BF•AB），
∵AB=nBC，
∴AB•BC=2（

1

2

BE•

1

n

AB+

1

2

BF•AB）=BE•

1

n

AB+BF•AB，
∴BC=BE•

1

n

+BF，
∴

1

n

AB=

1

n

EB+BF，
∴AE=nBF．

點評：本題考查三角形面積，以及把平行四邊形面積轉化為三角形面積來求，從而解得．