Question

已知二次函數y=ax²+（a²-3a-4）x-12a的圖象關于y軸對稱，并有最大值．
（1）求此二次函數的解析式，并畫出圖象．
（2）若此二次函數與x軸交于點A、B，△ABC為等邊三角形（點C在x軸上方），求點C的坐標．
（3）在此二次函數圖象上是否存在點P，使∠APB=60°？若有，請求出點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數的對稱軸為y軸，
∴-=0，
解得，a=4或-1，
又∵二次函數有最大值，
∴a=-1，
∴二次函數解析式為，y=-x²+12，
函數圖象如右圖所示；

（2）令y=0，則-x²+12=0，
解得x=±2，
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
∵△ABC是等邊三角形，且AO=BO，
∴點C一定在AB的中垂線上，即點C在y軸上，
所以，點C到AB的距離為，4×sin60°=4×=6，
∵點C在x軸上方，
∴點C的坐標為（0，6）；

（3）存在．理由如下：
如圖，∵∠APB=60°，
∴作△ABC的外接圓，則圓心坐標為（0，2），
則圓的解析式為x²+（y-2）²=（6-2）²，
又∵點P在拋物線圖象上，
∴12-y+（y-2）²=16，
整理得，y²-5y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=5，
此時，-x²+12=5，
解得x=±，
所以，點P的坐標為（，5）或（-，5），
根據對稱性，當圓心在（0，-2）時，
則圓的解析式為x²+（y+2）²=（6-2）²，
又∵點P在拋物線圖象上，
∴12-y+（y+2）²=16，
整理得，y²+3y=0，
解得y₁=0（舍去），y₂=-3，
此時，-x²+12=-3，
解得，x=±，
所以，點P的坐標為（，-3）或（-，-3），
綜上所述，二次函數圖象上存在點P（，5）或（-，5）或（，-3）或（-，-3）使∠APB=60°．
分析：（1）根據拋物線對稱軸為y軸列式求解得到a的值，然后代入拋物線計算即可得解，然后畫出圖象即可；
（2）先求出AB的長度，再根據△ABC是等邊三角形利用等邊三角形的性質可得點C一定在AB的中垂線上，即點C在y軸上，然后根據等邊三角形的性質求出AB邊上的高，寫出點C的坐標即可；
（3）根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，作△ABC的外接圓，然后寫出圓的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標，再根據對稱性寫出關于x軸對稱的圓的解析式，再與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標，綜合以上兩種情況即可得解．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數的對稱性，等邊三角形的性質，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等的性質，（3）利用圓的解析式與拋物線的解析式聯立求解是解題的關鍵．