Question

（2009•蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（-1，0），B（0，），O（0，0），將此三角板繞原點O順時針旋轉90°，得到△A′B′O．
（1）如圖，一拋物線經過點A，B，B′，求該拋物線解析式；
（2）設點P是在第一象限內拋物線上一動點，求使四邊形PBAB′的面積達到最大時點P的坐標及面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A，B，C三點的坐標，就可以得到OB的長，而OB′=OB=，因而B′的坐標就可以得到是（，0），已知A，B，B′的坐標，根據待定系數法就可以求出函數的解析式．
（2）S_{四邊形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′，△OAB的面積是一個定值，不變，OB，OB′的長度可以求出，△BAO的邊OB上的高是P點的橫坐標，而△POB′，OB′邊上的高是P的縱坐標，設P（x，y），則△BAO和△POB′的面積都可以用x，y表示出來，從而得到函數解析式．使四邊形PBAB′的面積達到最大時點P的坐標，就是求函數的最值問題，可以根據函數的性質得到．
解答：解：（1）∵拋物線過A（-1，0），B′（，0）
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-）（a≠0）
又∵拋物線過B（0，），
∴將坐標代入上解析式得
=a×（-）
即a=-1
∴y=-（x+1）（x-）
即滿足件的拋物線解析式為y=-x²+（-1）x+．

（2）（解法一）：如圖1
∵P為第一象限內拋物線上一動點
設P（x，y）則x＞0，y＞0
P點坐標滿足y=-x²+（-1）x+
連接PB，PO，PB′
∴S_{四邊形PBAB′}=S_△BAO+S_△PBO+S_△POB′
=+x+y=（x+y+1）
=[x-x²+（-1）x++1]=[-（x-）²+]
當x=時，S_{四邊形PBAB′}最大，
此時，y=．即當動點P的坐標為（，）時，
S_{四邊形PBAB′}最大，最大面積為．
（解法二）：如圖2，連接BB′
∵P為第一象限內拋物線上一動點
∴S_{四邊形PBAB′}=S_△ABB′+S_△PBB′，且△ABB′的面積為定值
∴S_{四邊形PBAB′}最大時S_△PBB′必須最大
∵BB′長度為定值
∴S_△PBB′最大時點P到BB′的距離最大
即將直線BB′向上平移到與拋物線有唯一交點時，
P到BB′的距離最大．
設與直線BB′平行的直線l的解析式為y=-x+m
聯立
得x²-x+m-=0
令△=（）²-4（m-）=0
解得m=+
此時直線l的解析式為y=-x++
∵
解得
∴直線l與拋物線唯一交點坐標為P（，）
設l與y軸交于E，則BE=+-=
過B作BF⊥l于F
在Rt△BEF中，∠FEB=45°
∴BF=sin45°=
過P作PG⊥BB′于G
則P到BB′的距離d=BF=
此時四邊形PBAB′的面積最大
∴S_{四邊形PBAB′}的最大值=AB′•OB+BB′•d=（+1）×+××=．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及函數的最值，求最值問題的基本思路就轉化為函數問題．