Question

已知方程x²-2ax+a=4
（1）求證：方程必有相異實根
（2）a取何值時，方程有兩個正根？
（3）a取何值時，兩根相異，并且負根的絕對值較大？
（4）a取何值時，方程有一根為零？

Answer 1

解：（1）方程x²-2ax+a=4，可化為：x²-2ax+a-4=0，
∴△=4a²-4（a-4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相異實根．
（2）若方程有兩個正根x₁，x₂，則x₁+x₂=2a＞0，x₁x₂=a-4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有兩根相異，并且負根的絕對值較大，則可得：x₁+x₂=2a＜0，x₁x₂=a-4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根為零，把x=0代入方程x²-2ax+a=4，得：a=4．
分析：（1）根據△＞0恒成立即可證明．
（2）由方程有兩個正根，根據根與系數的關系即可求出a的取值．
（3）由方程有兩根相異，并且負根的絕對值較大，根據根與系數關系解答．
（4）令x=0代入方程求解即可．
點評：本題考查了根與系數的關系及根的判別式，難度適中，關鍵是熟記x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．