Question

（2009•閘北區一模）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設正方形的邊長為4，AE=x，BF=y；求y關于x的函數解析式及函數的定義域；
（3）當x取什么值時，y有最大值？求出這個最大值．并指出該函數圖象的變化情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質及余角的性質得出△ADE與△BEF的兩對應角相等，從而得出△ADE∽△BEF；
（2）根據相似三角形的性質得出y關于x的函數解析式及函數的定義域；
（3）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值．
解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，（1分）
∴∠ADE+∠AED=90°，
又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，（1分）
∴∠ADE=∠BEF，（1分）
∴△ADE∽△BEF（1分）

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x
得：，即：，（1分）
得：==，（0＜x＜4）（2分）

（3）解：當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．（1分）
該函數圖象在對稱軸x=2的左側部分是上升的，右側部分是下降的．（2分）
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用．確定個二次函數的最值是，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．