Question

【題目】如圖1，在邊長為3的等邊中，點從點出發沿射線方向運動，速度為1個單位/秒，同時點從點出發，以相同的速度沿射線方向運動，過點作交射線于點，連接交射線于點．

（1）如圖1，當時，求運動了多長時間？

（2）如圖1，當點在線段（不考慮端點）上運動時，是否始終有？請說明理由；

（3）如圖2，過點作，垂足為，當點在線段（不考慮端點）上時，的長始終等于的一半；如圖3，當點運動到的延長線上時，的長是否發生變化？若改變，請說明理由；若不變，求出的長．

Answer 1

【答案】（1）運動了1秒；（2）始終有，證明見解析；（3）不變，．

【解析】

（1）設運動了秒，則，，，根據列方程求解即可；

（2）先證明DE=CF，然后根據“ASA”證明，從而可證始終有；

（3）根據DE//BC得出∠ADE=∠B=60°，然后再在利用等邊三角形的性質得出，再證明，得到，根據可解．

解：（1）設運動了秒，則，，，

當時，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

∴運動了1秒．

（2）∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴

∵

∴

又∵

∴，．

在與中

∴

∴；

（3）不變．

理由：∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∵，

∴，

在與中

，

∴，

∴，

∴，

∴．