Question

【題目】如圖所示，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D點，OC交AB于E點．

（1）求∠D的度數；

（2）求證：AC2=ADCE．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明參見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OA，由圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧為同一條弧，根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由∠ABC的度數求出∠AOC的度數，再由OA=OC，根據等邊對等角，由頂角∠AOC的度數，利用三角形的內角和定理求出底角∠ACO的度數，再由∠BAC及∠ABC的度數，求出∠ACB的度數，由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度數，由OC與AD平行，根據兩直線平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度數；（2）由∠ACB的度數，利用鄰補角定義求出∠ACD的度數，再由∠AEC為三角形BEC的外角，利用外角性質得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度數，進而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度數，求出∠CAD的度數，可得∠CAD=∠ACE，利用兩對對應角相等的三角形相似可得三角形AEC與三角形DCA相似，根據相似三角形的對應邊成比例可得證．

試題解析：（1）連接OA，如圖所示：

∵圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧都為弧AC，∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，∴∠AOC=30°，又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA==75°，又∠BAC=45°，∠ABC=15°，∴∠ACB=120°，∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°，又OC∥AD，∴∠D=∠OCB=45°；（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，∴∠AEC=60°，又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，∴∠AEC=∠ACD=60°，∵∠D=45°，∠ACD=60°，∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，∴∠CAD=∠OCA=75°，∴△ACE∽△DAC，∴=，即AC2=ADCE．