Question

如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿射線AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s．
（Ⅰ）當△PQB是直角三角形時，求AP的長；
（Ⅱ）連接AQ，CP交于點M，則在點P，Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t；需要分類討論：①當∠PQB=90°時和②當∠BPQ=90°時兩種情況，然后在直角三角形中利用30°所對的直角邊是斜邊的一半可以求得t的值；
（Ⅱ）此題也需要分類討論：①當點P，Q分別在線段AB，BC上運動時，利用等邊三角形的性質和全等三角形（△ABQ≌△CAP）的判定與性質可以證得∠CMQ=60°不變；
②當點P，Q分別在射線AB，BC上運動時，利用等邊三角形的性質、全等三角形（△PBC≌△ACQ）的判定與性質可以證得∠CMQ=120°不變．
解答：解：（Ⅰ）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當∠PQB=90°時，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4-t=2t，解得，t=；
②當∠BPQ=90°，∵∠B=60°，∴BQ=2PB，得t=2（4-t），解得t=；
∴當AP=cm或AP=cm時，△PBQ為直角三角形--------------------------（4分）

（Ⅱ）①當點P，Q分別在線段AB，BC上運動時，∠CMQ=60°不變．
∵等邊△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又由條件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP（全等三角形的對應角相等），
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°--------（6分）
②當點P，Q分別在射線AB，BC上運動時，∠CMQ=120°不變．
∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由條件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ（SAS），
∴∠BPC=∠MQC（全等三角形的對應角相等），
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°（等量代換）-------------------------------------------------------------（10分）
點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質．解題時，采用了“分類討論”是數學思想，以防漏解．