Question

如圖，已知反比例函數在第一象限內的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E．
（1）用含m的代數式表示四邊形ODBE的面積；
（2）若y關于x的函數y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的圖象與x軸只有一個交點，求四邊形ODBE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設點B（a，b），可得點M，又由反比例函數在第一象限內的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，可得ab=4m，然后由S_{四邊形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE，即可求得答案；
（2）分別從2m-1=0與2m-1≠0去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）設點B（a，b），則點M，
∵反比例函數在第一象限內的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，
∴，
∴ab=4m，
∴S_{四邊形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=4m-m-m=3m；

（2）①當2m-1=0時，得m=，
關于x的函數為一次函數：y=-3x+，
此時圖象與x軸只有一個交點，且S_{四邊形ODBE}=3m=；
②當2m-1≠0時，關于x的函數為二次函數，
∵y關于x的函數y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=[-2（m+1）]²-4（2m-1）（m+3）=-4m²-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此時S_{四邊形ODBE}=3m=3．
綜上可得：四邊形ODBE的面積為或3．
點評：此題考查了反比例函數的性質、一次函數的性質以及二次函數的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．