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精英家教網如圖拋物線y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
,x軸于A、B兩點,交y軸于點C,頂點為D.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)把△ABC繞AB的中點M旋轉180°,得到四邊形AEBC:
①求E點坐標;
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由;
(3)試探索:在直線BC上是否存在一點P,使得△PAD的周長最小?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點的坐標.
(2)依題意得出BC∥AE,又已知A、B、C的坐標易求出點E的坐標,又因為四邊形AEBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形.
(3)作點A關于BC的對稱點A′,連接′'D與直線BC交于點P.則可得點P是使△PAD周長最小的點,然后求出直線A′D,直線BC的函數解析式聯立方程求出點P的坐標.
解答:解:(1)y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3

令x=0,得y=
3

令y=0,
-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
=0

即x2+2x-3=0,
∴x1=1,x2=-3
∴A,B,C三點的坐標分別為A(-3,0),B(1,0),C(0,
3
)(3分)

(2)①過點E作EF⊥AB于F,
精英家教網∵C(0,
3
),
∴EF=
3

∵B(1,0),
∴AF=1,
∴OF=OA-AF=3-1=2,
∴E(-2,-
3
)(5分)
②四邊形AEBC是矩形.
理由:四邊形AEBC是平行四邊形,且∠ACB=90°(7分)

(3)存在.(8分)
D(-1,
4
3
3

作出點A關于BC的對稱點A′,連接A′D與直線BC交于點P.
精英家教網則點P是使△PAD周長最小的點.(10分)
∵AO=3,
∴FO=3,
CO=
3

∴A′F=2
3

∴求得A′(3,2
3

過A′、D的直線y=
3
6
x+
3
3
2

過B、C的直線y=-
3
x+
3

兩直線的交點P(-
3
7
10
3
7
).(12分)
點評:本題綜合考查了二次函數的有關知識以及利用待定系數法求出函數解析式,難度中上.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,拋物線y=
3
3 
 
x2+
2
3
3
x-
3
交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,頂點為D.
(1)求點A、B、C的坐標;
(2)把△ABC繞AB的中點M旋轉180°,得到四邊形AEBC,求E點的坐標;
(3)試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知拋物線y=a(x-1)2+3
3
(a≠0)經過點A(-2,0),拋物線的頂點為D,過O作射線OM∥AD.過頂點平行于x軸的直線交射線OM于點C,B在x軸正半軸上,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若動點P從點O出發,以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動,設點P運動的時間為t(s).問當t為何值時,四邊形DAOP分別為平行四邊形,直角梯形,等腰梯形?
(3)若OC=OB,動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發,分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動,當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.設它們的運動的時間為t(s),連接PQ,當t為何值時,四邊形BCPQ的面積最小?并求出最小值及此時PQ的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,圓B切y軸于原點O,過定點A(-2
3
,0)作圓B的切線交圓于點P,已知ta精英家教網n∠PAB=
3
3
,拋物線C經過A,P兩點.
(1)求圓B的半徑.
(2)若拋物線C經過點B,求其解析式.
(3)設拋物線C交y軸于點M,若三角形APM為直角三角形,求點M的坐標.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•臨汾二模)如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,已知A(2,0)、C(1,3
3
),將△OAC繞AC的中點E旋轉180°,點O落到點B的位置,拋物線y=ax2-2
3
x經過點A,點D是拋物線的頂點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)判斷點B是否在拋物線上;
(3)若點P是x軸上A點左邊的一個動點,當以P、A、D為頂點的三角形與△OAB相似時,求出點P的坐標;
(4)若點M是y軸上的一個動點,要使△MAD的周長最小,請直接寫出點M的坐標.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,Rt△ABC的頂點坐標分別為A(0,
3
),B(-
1
2
3
2
),C(1,0),∠ABC=90°,BC與y軸的交點為D,D點坐標為(0,
3
3
),以點D為頂點y軸為對稱軸的拋物線過點B.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)將△ABC沿AC折疊后得到點B的對應點B',求證:四邊形AOCB'是矩形,并判斷點B'是否在(1)的拋物線上.
(3)延長BA交拋物線于點E,在線段BE上取一點P,過點P作x軸的垂線,交拋物線于點F,是否存在這樣的點P,使四邊形PADF是平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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