Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，

3

），點B的坐標（-2，0），點O為原點．
（1）求過點A，O，B的拋物線解析式；
（2）在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點C的坐標；
（3）將原點O繞點B逆時針旋轉120°后得點O′，判斷點O′是否在拋物線上，請說明理由；
（4）在x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點E，線段OE把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOE面積比為2：3，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過點A，O，B，運用待定系數法就可以直接求出拋物線的解析式；
（2）過點A作x軸的垂線與x軸的交點是C，作CA⊥AB于A，交x軸于點C，這就是滿足條件的C，利用解直接三角形就可以求出C點的坐標；
（3）由旋轉的旋轉，求出O′的坐標，然后代入拋物線的解析式就可以判斷該點是否在拋物線上；
（4）由A、B的坐標可以求出直線AB的解析式，設出點P的坐標，就可以表示出E的坐標，利用面積之比建立等量關系根據兩種不同的情況就可以求出P的解析式．

解答：解：（1）設y=ax²+bx+c，根據題意得

4a-2b+c=0 a+b+c= 3 c=0

，
解得

a= 3 3 b= 2 3 3 c=0

，
所以y=

3

3

x²+

2

3

3

x．

（2）C（1，0）或C（2，0）

（3）由題意得O′（-3，

3

），將O′（-3，

3

）代入y=

3

3

x²+

2

3

3

x，左邊=右邊
∴點O′在函數圖象上．

（4）點P坐標為（-

1

2

，-

3

4

）．
∵A的坐標為（1，

3

），點B的坐標（-2，0），設直線AB的解析式為y=kx+b，則有

3 =k+b 0=-2k+b

解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

2

3

3

假設存在這樣的點P，它的橫坐標為h，則點P坐標為（h，

3

3

h²+

2

3

3

h），
點E坐標為（h，

3

3

h+

2

3

3

），分兩種情況：
①△OBE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得h=-

1

2

，此時點P坐標為（-

1

2

，-

3

4

）；
②△AOE的面積：四邊形BPOE面積=2：3，
則[

3

-

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）]：[

1

2

×2×（

3

3

h+

2

3

3

）+

1

2

×2×（-

3

3

h²-

2

3

3

h）]=2：3，
解得：h=-

1

2

，或h=-2（不合題意，舍去），
此時點P坐標為（-

1

2

，-

3

4

）．
綜上所述：點P坐標為（-

1

2

，-

3

4

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，三角形的面積，勾股定理的逆定理的運用．