Question

如圖，在同一直角坐標系內，如果x軸與一次函數y=kx+4的圖象以及分別過C（1，0）、D（4，0）兩點且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7．
（1）求k的值；
（2）求過F、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）線段CD上的一個動點P從點D出發，以1單位/秒的速度沿DC的方向移動（點P不重合于點C），過P點作直線PQ⊥CD交EF于Q．當P從點D出發t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數關系式，并確定t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點A、B在一次函數y=kx+4的圖象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根據四邊形ABDC的面積為7代入即可求出k；
（2）設過F、C、D三點的拋物線的解析式y=a（x-1）（x-4），代入求出a即可；
（3）求出PD=t，OP=4-t，PQ=

2t

3

+

4

3

，根據面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵點A、B在一次函數y=kx+4的圖象上，
∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，
∵四邊形ABDC的面積為7，
∴

1

2

[（k+4）+（4k+4）]•3=7，
∴k=-

2

3

，
答：k的值是-

2

3

．

（2）拋物線過F（O，4）、C（1，O）、D（4，0），
設過F、C、D三點的拋物線的解析式是y=a（x-1）（x-4），
把F（0，4）代入求出a=1，
∴y=（x-1）（x-4）=x²-5x+4，
答：過F、C、D三點的拋物線的解析式是y=x²-5x+4．

（3）∵PD=1×t=t，
∴OP=4-t，
PQ=

2t

3

+

4

3

，
S=S_{四邊形PQFO}-S_△CFO=-

t2

3

-

4t

3

+

13

15

，（0≤t＜3），
答：四邊形PQFC的面積S與t之間的函數關系式是s=-

1

3

t²-

4

3

t+

13

15

，t的取值范圍0≤t＜3．

點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求二次函數的解析式，解一元一次方程，三角形、梯形的面積等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．