Question

（2009•泰安）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD．
（1）求證：BE=AD；
（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；
（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把要證明的線段AD和BE放到兩個三角形ABD和BCE中即可證明；
（2）根據等腰三角形的三線合一即可證明；
（3）根據（2）中的結論，即可證明CD=BC．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE．

（2）證明：∵E是AB中點，
∴EB=EA，
∵AD=BE，
∴AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
又∵AD=AE，
∴AM⊥DE，且EM=DM，
即AC是線段ED的垂直平分線；

（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．
點評：綜合運用了全等三角形的性質和判定以及等腰三角形的性質．此類題注意已證明的結論的充分運用．