Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，E是BC的中點，AE交BC于點D，DF⊥AB于F，F為垂足，連接CF．
（1）判斷△CDF的形狀，并證明你的結論；
（2）若AC=8，cos∠CAB=，求線段BC和CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得∠CAE=∠BAE，∠ACB=∠DFC=90°，再加上公共邊，可證得△CDA≌△FDA，即證CD=DF．
（2）利用cos∠CAB的值可求得BC長，設出CD=DF=x，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到CD的長．
解答：解：（1）等腰三角形．
∵E是BC的中點，
∴∠CAE=∠BAE．
∵AB是半圓O的直徑，DF⊥AB于F，
∴∠ACB=∠DFA=90．
又∵AD=AD，
∴△CDA≌△FDA．
∴CD=DF．

（2）∵AC=8，cos∠CAB=，
∴BC=6．
根據勾股定理得：AB=10，
∵△CDA≌△FDA．
∴AC=AF=8，
∴FB=2，
設CD=DF=x，則BD=BC-CD=6-x，
根據勾股定理得：x²+2²=（6-x）²，
解得：x=
∴CD=．
點評：本題考查了同弧所對的圓周角相等，直角三角形的三角函數，以及角平分線所截得的線段的對于比等知識點．