Question

解答題
①已知x=0是關于x的方程（m-1）x²+7mx+m²+3m-4=0的根，求m的值．
②在△ABC中，點D在邊AC上，DB=BC，點E是CD的中點，點F是AB的中點．
（1）求證：EF=AB；
（2）過點A作AG∥EF，交BE的延長線于點G，求證：△ABE≌△AGE．

Answer 1

①解：∵x=0是關于x的方程（m-1）x²+7mx+m²+3m-4=0的根，
∴把x=0代入方程得：m²+3m-4=0，
解得：m=1、m=-4；

②證明：（1）連接BE，
∵DB=BC，點E是CD的中點，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB=90°，
∵點F是Rt△ABE中斜邊上的中點，
∴EF=；

（2）證明：解法一∵在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴BE=EG，
∵由（1）知：BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AEG=90°
∵在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE；

解法二：∵由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE，
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG．
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．
分析：①把x=0代入方程得出方程m²+3m-4=0，求出m即可；
②（1）連接BE，根據(jù)三線合一得出BE⊥AC，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；（2）分為解法一和二，都是想法推出證△ABE和△AGE全等的三個條件．
點評：本題考查了解一元二次方程，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要培養(yǎng)學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．