Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²-2x-4與直線y=x交于點A、B，M是拋物線上一個動點，連接OM．
（1）當M為拋物線的頂點時，求△OMB的面積；
（2）當點M在拋物線上，△OMB的面積為10時，求點M的坐標；
（3）當點M在直線AB的下方且在拋物線對稱軸的右側，M運動到何處時，△OMB的面積最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=x²-2x-4=（x-1）²-5，得到M的坐標為（1，-5），解方程組，得A（-1，-1）
B（4，4），過點M作y軸的平行線與AB交于點N，易得N（1，1），由S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN即可得到答案．
（2）分類討論：①當M在直線AB下方時，設M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m），利S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB=10，得到關于m的方程，解方程即可得到M的坐標；②當M在直線AB上方時，同理可得M的坐標；
（3）設M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m），通過面積公式得到S_△OMB=2（-x_m²+3x_m+4），根據二次函數的頂點式即可得到當x=時，S_△OMB有最大值．
解答：解：（1）∵y=x²-2x-4=（x-1）²-5，
∴當M是頂點時，M的坐標為（1，-5），
解方程組，得A（-1，-1）B（4，4），
過點M作y軸的平行線與AB交于點N，易得N（1，1），如圖，
∴S_△OBM=S_△OMN+S_△BMN=×6×1+×6×3=12；

（2）①當M在直線AB下方時，
設M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m）
S_△OMB=S_△OMN+S_△MNB
=

，即M₁（，）、M₂（，）；

②當M在直線AB上方時，同理

縱上所述M₁（，）、M₂（，）；

；

（3）設M（x_m，x_m²-2x_m-4），則N（x_m，x_m）

=
=2（-x_m²+3x_m+4）
=
∴當x=時，S_△OMB有最大值．
點評：本題考查了二次函數的頂點式y=a（x-h）²+k，其中h，k分別為頂點的橫縱坐標．也考查了用坐標表示線段的長以及求兩個函數圖象的交點坐標的方法．