Question

如圖1，點A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函數y=

k

x

的圖象上，正比例函數y=nx的圖象交反比例函數圖象于A、C兩點．
（1）求出k值和線段AC的長．
（2）在y軸上是否存在點D，使∠ADC=90°？若存在，求點D的坐標；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，若E（-4，3），點P是線段AC上的一個動點，試判斷

50-CP•AP

EP2

的值是否發生變化？若不變，求出其值；若變化，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圖象上點的性質將A，B分別代入解析式，即可得出m的值，再利用反比例函數的對稱性得出AC的長即可；
（2）首先在y軸的正半軸上取OD=OA=5，連接AD、CD，利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進而求出即可；
（3）利用已知首先證明△ENO≌△OMA，進而得出∠EOA=90°再利用勾股定理得出即可．

解答：解：（1）∵點A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴m（m+1）=（m+3）（m-1），
∴解得：m=3．
∴A（3，4）、B（6，2）．
∴k=m（m+1）=12；
如圖1，過A作AM⊥x軸于M，
則OM=3，AM=4，
∴AO=5．
根據反比例函數的對稱性，AC=2AO=10；

（2）如圖1，在y軸的正半軸上取OD=OA=5，連接AD、CD．
則OD=OA=OC．
則∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA．
在△ACD中，有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°．
即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°．
∴∠ODC+∠ODA=90°，
即∠ADC=90°．
∴D（0，5）．
同理在y軸負半軸上還有點：D′（0，-5）．

另法：如圖1，設OD=t，由AD²+CD²=AC²，
AE²+ED²+FD²+CF²=AC²，
3²+（t-4）²+3²+（t+4）²=10²，
解得：t=±5．
則D（0，5）或D′（0，-5）．

（3）

50-CP•AP

EP2

的值不發生變化，理由為：
如圖2，連EO，過E作EN⊥x軸于N，過A作AM⊥x軸于M．
∵E（-4，3），A（3，4），
∴EO=OA=5，EN=OM=3，NO=AM=4，
在△ENO和△OMA中，
∵

EO=AO EN=OM NO=AM

，
∴△ENO≌△OMA（SSS），
∴∠EON=∠OAM，
∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°，
∴∠EOA=90°，
設CP=t，則AP=10-t，
CP•AP=t（10-t）=10t-t²，
而EP²=OP²+EO²=（5-t）²+5²=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=50-（10t-t²）=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=EP²，
∴

50-CP•AP

EP2

=1，
即

50-CP•AP

EP2

的值不發生變化，其值恒為1．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及全等三角形的證明和勾股定理等知識，利用勾股定理表示出EP²與CP•AP是解本題第二問的關鍵．