Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

1.連結，證明：；

 

 

2.如圖二，過點A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連結PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;

 

 

3.如圖三，過點A作半圓的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連結PA. 證明：PA是半圓的切線.

 

 

Answer 1

 

1.

∴∠DF=∠FE.

∴.

2.

解：如圖二，延長CA至G，使AG=AQ,連接BG、AE.

 

 

∵點E是半圓圓弧的中點，

∴AE=CE=3

∵AC為直徑

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

∵AQ是半圓的切線，

∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

 

3.

（3） 證法一：如圖三，設直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，

連接DR、AD、DM.

 

 

∵F是BC邊的中點，∴.

∴BR=CS，

由（2）已證∠CAQ=90°,AC=AQ,

∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3,

同理：∠2=∠4,

∴，

∴AM=CS，

∴AM=BR，

同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上，

且∠DBR+∠DAR=180°,

∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°,

∴∠DBR=∠DAM

∴，

∴∠5=∠9,

∴∠RDM=90°，

∴∠5+∠7=90°，

∴∠6+∠8=90°，

∴∠PAB=90°，

∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑，

即  .

∵ ,

∴ 過點Q有兩條不同的直線和同時與AF垂直.

這與在平面內過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾,因此假設錯誤.

所以PA是是半圓的切線.

 解析:略