Question

如圖，P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P₃，P₄，…，P_n，…，記紙板P_n的面積為S_n，試計算求出S₃-S₂=

 

；并猜想得到S_n-S_n-1=

 

（n≥2）．

Answer 1

分析：S ₃比S ₂減少了一個半徑是(

1

4

)的半圓，同理S_n-S_n-1=減少了一個半徑是(

1

4

)n-1的半圓，據此即可求解．

解答：解：S ₃比S ₂減少了一個半徑是(

1

4

)的半圓．因而S₃-S₂=-

1

2

（

1

4

）² π=-

π

32

；
S_n-S_n-1=-

π

2

(

1

4

)n-1．
故答案是：-

π

32

和-

π

2

(

1

4

)n-1．

點評：本題主要考查了圓的面積的計算，正確理解相鄰的兩個圖形之間的關系是解題關鍵．