Question

已知拋物線y=ax²-2ax+c-1的頂點在直線y=-

8

3

x+8上，與x軸相交于B（α，0）、C（β，0）兩點，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設這個拋物線與y軸的交點為P，H是線段BC上的一個動點，過H作HK∥PB，交PC于K，連接PH，記線段BH的長為t，△PHK的面積為S，試將S表示成t的函數；
（3）求S的最大值，以及S取最大值時過H、K兩點的直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把頂點A的坐標代入直線的解析式得出c=a+

19

3

，根據根與系數的關系求出c=1-3a，得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出P、B、C的坐標，BC=4，根據sin∠BCP=

OP

PC

=

4

5

，和HK∥BP，得出

t

4-t

=

PK

5-PK

，求出PK=

5

4

t，過H作HG⊥PC于G，根據三角形的面積公式即可求出答案；
（3）根據S=-

1

2

（t-2）²+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到點K的坐標，設所求直線的解析式為y=kx+b，代入得到方程組求出即可．

解答：解：（1）由y=ax²-2ax+c-1=a（x-1）²+c-1-a得拋物線的頂點為
A（1，c-1-a）．
∵點A在直線y=-

8

3

x+8上，
∴c-1-a=-

8

3

×1+8，
即c=a+

19

3

，①
又拋物線與x軸相交于B（α，0）、C（β，0）兩點，
∴α、β是方程ax²-2ax+c-1=0的兩個根．
∴α+β=2，αβ=

c-1

a

，
又α²+β²=10，即（α+β）²-2αβ=10，
∴4-2×

c-1

a

=10，
即c=1-3a②，
由①②解得：a=-

4

3

，c=5，
∴y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
此時，拋物線與x軸確有兩個交點，
答：這個拋物線解析式為：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4．

（2）由拋物線y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
令x=0，得y=4，故P點坐標為（0，4），
令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP=

OP

PC

=

4

5

，
∵BH=t，∴HC=4-t．
∵HK∥BP，

BH

HC

=

PK

KC

，

t

4-t

=

PK

5-PK

，
∴PK=

5

4

t
如圖，過H作HG⊥PC于G，則HG=HC，
sin∠BCP=（4-t）•

4

5

=

4

5

（4-t），
∴S=

1

2

×

5

4

t×

4

5

（4-t）=

1

2

t²+2t，
∵點H在線段BC上且HK∥BP，∴0＜t＜4．
∴所求的函數式為：S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4），
答：將S表示成t的函數為S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-

1

2

t²+2t=-

1

2

（t-2）²+2（0＜t＜4），知：
當t=2（滿足0＜t＜4）時，S取最大值，其值為2，
此時，點H的坐標為（1，0），
∵HK∥PB，且H為BC的中點，
∴K為PC的中點，
作KK′⊥HC于K′，
則KK′=

1

2

PO=2，OK′=

1

2

CO=

3

2

，
∴點K的坐標為（

3

2

，2），
設所求直線的解析式為y=kx+b，則

0=k+b 2= 3 2 +b

，
∴

k=4 b=-4

故所求的解析式為y=4x-4，
答S的最大值是2，S取最大值時過H、K兩點的直線的解析式是y=4x-4．

點評：本題主要考查對二次函數的最值，用待定系數法求一次函數的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，根與系數的關系，銳角三角函數的定義，平行線分線段成比例定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．