Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，每次向上平移2個單位長度或向右平移1個單位長度．
（1）實驗操作：
在平面直角坐標系中描出點P從點O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達的點，并把相應點的坐標填寫在表格中：

P從點O出發(fā)平移次數	可能到達的點的坐標
1	（1，0），（0，2）
2
3

（2）觀察發(fā)現：
設點P（x，y），任一次平移，點P可能到達的點的縱、橫坐標都滿足一定的關系式．
例如：平移1次后2x+y=

2

；平移2次后2x+y=

4

；平移3次后2x+y=

6

；…．
由此我們知道，平移n次后點P坐標滿足的關系式是

2x+y=2n

．
（3）探索運用：
點P從點O出發(fā)經過n次平移后達到點R，若點R的縱坐標比橫坐標大6，并且點P平移的路徑長不小于50，不超過56，求點R的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據點的平移特點描出每次平移后P點的位置，并且寫出對應的坐標即可；
（2）根據（1）中表格可知平移1次后2x+y=2；平移2次后2x+y=4；平移3次后2x+y=6；…由此得出平移n次后點P坐標滿足的關系式是2x+y=2n；
（3）設點R的坐標為（x，y），先根據（2）中結論可得2x+y=2n①，由點R的縱坐標比橫坐標大6可得y-x=6②，再將①與②聯立組成關于x、y的方程組，解方程組求出x、y的值，計算出x+y=

4

3

n+2，然后根據點P平移的路徑長不小于50，不超過56，列出不等式組，得出n的取值范圍，再根據點R的坐標為正整數即可進行解答．

解答：解：（1）如圖所示：

P從點O出發(fā)平移次數	可能到達的點的坐標
1	（1，0），（0，2）
2	（1，2），（0，4），（2，0）
3	（1，4），（0，6），（2，2），（3，0）

（2）平移1次后可能到達的點的坐標為（1，0），（0，2），
如果坐標為（1，0），那么2x+y=2×1+0=2；如果坐標為（0，2），那么2x+y=2×0+2=2．
即平移1次后2x+y=2；
平移2次后可能到達的點的坐標為（1，2），（0，4），（2，0），
如果坐標為（1，2），那么2x+y=2×1+2=4；如果坐標為（0，4），那么2x+y=2×0+4=4；如果坐標為（2，0），那么2x+y=2×2+0=4．
即平移2次后2x+y=4；
同理可求出平移3次后2x+y=6；
∵平移1次后2x+y=2，2=2×1；
平移2次后2x+y=4，4=2×2；
平移3次后2x+y=6，6=2×3；
…，
∴平移n次后點P坐標滿足的關系式是2x+y=2n；

（3）設點R的坐標為（x，y），
由題意，得

2x+y=2n y-x=6

，
解得

x= 2 3 n-2 y= 2 3 n+4

，
∴x+y=

4

3

n+2．
∵平移的路徑長為x+y，
∴50≤x+y≤56，
∴50≤

4

3

n+2≤56，
∴36≤n≤40.5．
∵x、y都是整數，
∴n是3的倍數，
∴n=36，39．
當n=36時，x=

2

3

×36-2=22，y=

2

3

×36+4=28；
當n=39時，x=

2

3

×39-2=24，y=

2

3

×39+4=30；
∴點R的坐標為（22，28），（24，30）．
故答案為2；4；6；2x+y=2n．

點評：本題考查了一次函數圖象與幾何變換，二元一次方程組與一元一次不等式組的應用，難度適中．通過動手操作，觀察發(fā)現得出平移n次后點P（x，y）的坐標滿足的關系式2x+y=2n是解答此題的關鍵．