Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑HF交AC于D，HF、BC的延長線相交于E．

(1)若HF⊥AB，求證：∠OAD＝∠E；

(2)在(1)的條件下，若OD＝1，DE＝3，試求⊙O的半徑；

(3)若A是下半圓上一動點，當A運動到什么位置時，△CDE的外心在△CDE的一邊上？(只寫結論，不用證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結OB．…………1分 　　∵HF是⊙O直徑，HF⊥AB， 　　∴ 　　∴∠AOH＝∠HOB＝∠AOB． 　　∵∠ACB＝∠AOB， 　　∴∠AOH＝∠ACB．……………2分 　　∴∠AOD＝∠DCE， 　　又∠ADO＝∠CDE， 　　∴∠1＝∠E． 　　即∠OAD＝∠E．……………3分 　　(2)解：連結OC，……………4分 　　則∠1＝∠2， 　　∵∠1＝∠E， 　　∴∠2＝∠E． 　　∵∠DOC＝∠COE， 　　∴△OCD∽△OEC……………5分 　　 　　∵OD＝1，DE＝3， 　　∴OC2＝OE·OD＝(1＋3)×1＝4． 　　∴OC＝2，即⊙O的半徑為2．……………6分 　　(3)解：①當A運動到使AB是⊙O的直徑時，∠ACB＝90°，∴△CDE是直角三角形； 　　②當A運動到使AC⊥HF時，△CDE是直角三角形，綜上兩種情況下，△CDE的外心在△CDE的一邊上．……………8分