Question

（1999•北京）已知：二次函數y=x²+2ax-2b+1和y=-x²+（a-3）x+b²-1的圖象都經過x軸上兩個不同的點M，N，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：兩個二次函數圖象都經過x軸上兩個不同的點M，N，將兩個解析式轉化為一元二次方程，比較兩個方程的根與系數關系，得出方程組，解方程組求a、b的值，再結合方程有兩個不等根進行討論．
解答：解：依題意，設M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁≠x₂，
則x₁，x₂為方程x²+2ax-2b+1=0的兩個實數根．
∴x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=-2b+1，
∵x₁，x₂又是方程-x²+（a-3）x+b²-1=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=a-3，x₁•x₂=1-b²，
∴
解得或
當a=1，b=0時，二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
∴a=1，b=0舍去；
當a=1，b=2時，二次函數為y=x²+2x-3和y=-x²-2x+3符合題意；
∴a=1，b=2．
點評：本題考查了二次函數解析式與一元二次方程的根與系數關系的聯系．