Question

使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示為2個(gè)正整數(shù)平方和的自然數(shù)n（ ）
A．不存在
B．有1個(gè)
C．有2個(gè)
D．有無數(shù)個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)將原式變形得出原式=2（n²+3n）（n²+3n+2）+12，利用換元法進(jìn)而得出原式=4（2k²+2k+3），再利用數(shù)的奇偶性分析得出即可．
解答：解：∵2n（n+1）（n+2）（n+3）+12
=2（n²+3n）（n²+3n+2）+12，
假設(shè)n²+3n+1=t，
則t為奇數(shù)，
故令t=2k+1，
∴原式=4（2k²+2k+3）．
若原式可表示為兩個(gè)正整數(shù)x，y的平方和x²+y²，可知x，y均為偶數(shù)，不妨設(shè)x=2u，
y=2v，于是，有u²+v²=2k 2+2k+3=2k（k+1）+3為4p+3型，
其中P為正整數(shù)，而u²+v²不可能是4p+3型，
故滿足條件的自然數(shù)n不存在．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用，利用換元法將原始變形利用數(shù)的奇偶性得出原式正確性是解決問題的關(guān)鍵．