Question

（2008•鎮江）閱讀以下材料：
對于三個數a、b、c，用M（a，b，c）表示這三個數的平均數，用min（a，b，c）表示這三個數中最小的數．例如：M{-1，2，3}=；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解決下列問題：
（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=______，如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為______≤x≤______；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根據①，你發現了結論“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么______（填a，b，c的大小關系）”，
證明你發現的結論．
③運用②的結論，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，則x+y=______；
（3）在同一直角坐標系中作出函數y=x+1，y=（x+1）²，y=2-x的圖象（不需列表描點），通過觀察圖象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為用min（a，b，c）表示這三個數中最小的數．分別計算sin30°，cos45°，tan30°的值，因為sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；
（2）結合題意，分情況討論，將實際問題與數學思想聯系起來，讀懂題列出算式或一元一次不等式組即可求解；
（3）作出正確的圖象，是解題的關鍵．
解答：解：（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=，
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}==x+1．
法一：∵2x-（x+1）=x-1．當x≥1時，
則min{2，x+1，2x}=2，則x+1=2，
∴x=1．當x＜1時，
則min{2，x+1，2x}=2x，則x+1=2x，
∴x=1（舍去）．
綜上所述：x=1．
法二：∵M{2，x+1，2x}==x+1=min{2，x+1，2x}，
∴
∴
∴x=1．
②a=b=c．
證明：∵M{{a，b，c}}=，如果min{a，b，c}=c，則a≥c，b≥c．則有=c，
即a+b-2c=0．
∴（a-c）+（b-c）=0．
又a-c≥0，b-c≥0．
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情況同理可證，故a=b=c．
③-4；

（3）作出圖象．
最大值是1．
點評：解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．