Question

（2013•常德）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=

1

3

，AD=1．
（1）求BC的長；
（2）求tan∠DAE的值．

Answer 1

分析：（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據勾股定理求出BD=2

2

，然后根據BC=BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根據正切函數的定義即可求解．

解答：解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=

1

3

，AD=1，
∴AB=

AD

sinB

=3，
∴BD=

AB2-AD2

=2

2

，
∴BC=BD+DC=2

2

+1；

（2）∵AE是BC邊上的中線，
∴CE=

1

2

BC=

2

+

1

2

，
∴DE=CE-CD=

2

-

1

2

，
∴tan∠DAE=

DE

AD

=

2

-

1

2

．

點評：本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關鍵．