Question

如圖，點P是反比例函數y=

2

x

（x＞0）的圖象上的一個動點，PA⊥x軸于點A，延長AP至點B，使PB=PA，過點B作BC⊥y軸于點C，交反比例函數圖象于點D．
（1）填空：S_△AOP

=

S_△COD（填“＞“＜”或“=”）
（2）當點P的位置改變時，四邊形PODB的面積是否改變？說明理由．
（3）連接OB，交反比例函數y=

2

x

（x＞0）的圖象于點E，試求

OE

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據P、D兩點在反比例函數y=

2

x

（x＞0）的圖象上，且PB=PA，設P（m，

2

m

），則B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），由此可求S_△AOP，S_△COD，比較大小；
（2）由S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD，計算結果并判斷；
（3）根據B點坐標求直線OB的解析式，聯立直線OB的解析式與雙曲線解析式，求E點坐標，則由相似三角形的性質可知

OE

OB

=

E點縱坐標

B點縱坐標

．

解答：解：（1）依題意設P（m，

2

m

），則B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），
故S_△AOP=

1

2

m×

2

m

=1，S_△COD=

1

2

×

m

2

×

4

m

=1，
即S_△AOP=S_△COD，
故答案為：=；

（2）不改變．
理由：∵S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD=m×

4

m

-1-1=2，
∴當點P的位置改變時，四邊形PODB的面積總是2，不改變；

（3）設直線OB解析式為y=kx，將B（m，

4

m

）代入，得k=

4

m2

，
可知直線OB解析式為y=

4

m2

x，
聯立

y= 2 x y= 4 m2 x

，得

x= 2 m 2 y= 2 2 m

，即E（

2 m

2

，

2 2

m

），
故

OE

OB

=

2 2 m

4 m

=

2

2

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是根據反比例函數解析式，矩形的性質設點的坐標，用點的坐標表示線段長度，再計算面積及線段比．