Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，O是AB的中點，經過O、C兩點的圓分別與AC、BC相交于D、E兩點．
（1）求證：OD=OE；
（2）求：四邊形ODCE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OC，根據等腰直角三角形的性質得出，∠A=∠OCE=45°，進而得出∠AOD=∠COE，即可得出△AOD≌△COE，得出OD=OE；
（2）根據△AOD≌△COE，得出S_△AOD=S_△COE，即可求出S_{四邊形ODCE}=S_△AOC=S_△ABC，得出答案即可．
解答：方法一：
解：（1）連接OC如圖：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴OA=OC，∠A=∠OCE=45°，∠AOC=90°，
又∵∠DOE=180°-∠ACB=90°，
∴∠AOD=90°-∠DOC，∠COE=90°-∠DOC，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，

（2）∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四邊形ODCE}=S_△AOC=S_△ABC，
∴S_{四邊形ODCE}=××2×2=1；

方法二：
（1）過O分別作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N如圖
則四邊形OMCN是矩形，∠MON=90°
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
∴，
又∵BC=2，
∴OM=1，
同理ON=1，
OM=ON，
四邊形OMCN是正方形，
∵∠DOM=90°-∠MOE，∠EON=90°-∠MOE，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠OMD=∠ONE=90°，
∴△DOM≌△EON，
∴OD=OE；
（2）∵△DOM≌△EON，
∴S_△ODM=S_△OEN，
∴S_{四邊形ODCE}=S_{正方形OMCN}，
 ．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及圖形面積求法，根據等腰直角三角形的性質得出∠AOD=∠COE是解題關鍵．