Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，BC所在直線解析式為，作∠BCD角平分線交AB于點G．
（1）求點G的坐標；
（2）動點E從點G出發沿射線GA方向運動，速度為1個單位長度/秒，作射線CE，將射線CE繞點C順時針旋轉60°交直線DG于點P，設△AEP的面積為S，點E的運動時間為t（秒），求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設M為線段PC中點，連接OM交EC于點F．交CG于點N，是否存在t值，使？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據BC的直線解析式計算出B、C兩點坐標，進而得到BC、DC、AD、BG的長，再根據BO=，即可得到G點坐標；
（2）作PH⊥AG于點H，然后分兩種情況：當0≤t＜3時和當t＞3時，分別進行計算；
（3）延長PG交y軸于點Q，設CE與PG相交于點K，可證△COB≌△QOG，再根據中位線的性質可證出△CMN∽△CPG，再根據相似三角形的性質可得==，進而得到CN=NG，然后證△CFN∽△CKG，計算出DK，再再證△CDK∽△GEK可得EG，進而得到t的值．
解答：解：（1）如圖1，
∵直線BC：y=-x+，
∴B（，0），C（0，），
又∵∠BOC=90°，
∴BC=3，
∵梯形ABCD中AB∥CD，AD=DC=CB，
∴AD=DC=CB=3，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG=∠DCG=∠CGB，
∴BC=BG=3，
又∵BO=，
∴GO=，
∴G（-，0）；

（2）如圖2，當0≤t＜3時，
∵BC=BG，∠CBG=60°，
∴△BCG為等邊三角形，
∴CG=BC=BG=CD，
又∵∠PCE=∠GCB=∠DCG=∠CGD=60°，
∴∠PCG=∠ECB，
∴△PCG≌△ECB，
∴PG=BE=3+t，
作PH⊥AG于點H，
∴PH=PG•sin∠DGA=（3+t），
又∵AE=3-t，
∴S=AE•PH=-t²+，
當t＞3時，同理S=AE•PH=t²-，

（3）如圖3，延長PG交y軸于點Q，設CE與PG相交于點K，
在△COB和△QOG中

∴△COB≌△QOG，
∴CO=OG且CM=PM．
∴MO是△CPQ的中位線，
∴MO∥PQ，
∴△CMN∽△CPG，
∴==，
∴CN=NG，
在Rt△COG中：ON=CG=，且=，
∴FN=，
∵可證△CFN∽△CKG，
∴==，
∴KG=1，
∵DG=3，
∴DK=2，
∵CD∥AO，
∴∠CDK=∠EGK，∠DCK=∠GEK，
∴△CDK∽△GEK，
∴==2，CD=3，
∴EG=，
∴t=．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，題目綜合性較強，注意考慮問題要全面，不要漏掉各種情況．