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已知點M,N的坐標分別為(0,1),(0,-1),點P是拋物線y=x2上的一個動點.
(1)求證:以點P為圓心,PM為半徑的圓與直線y=-1的相切;
(2)設直線PM與拋物線y=x2的另一個交點為點Q,連接NP,NQ,求證:∠PNM=∠QNM.

【答案】分析:(1)可先根據拋物線的解析式設出P點的坐標,那么可得出PM的長的表達式,P點到y=-1的長就是P點的縱坐標與-1的差的絕對值,那么可判斷得出的表示PM和P到y=-1的距離的兩個式子是否相等,如果相等,則y=-1是圓P的切線.
(2)可通過構建相似三角形來求解,過Q,P作QR⊥直線y=-1,PH⊥直線y=-1,垂足為R,H,那么QR∥MN∥PH,根據平行線分線段成比例定理可得出QM:MP=RN:NH.(1)中已得出了PM=PH,那么同理可得出QM=QR,那么比例關系式可寫成QR:PH=RN:NH,而這兩組對應成比例的線段的夾角又都是直角,因此可求出∠QNR=∠PNH,根據等角的余角相等,可得出∠QNM=∠PNM.
解答:解:(1)設點P的坐標為(xx2),則
PM==x2+1;
又因為點P到直線y=-1的距離為,x2-(-1)=x2+1
所以,以點P為圓心,PM為半徑的圓與直線y=-1相切.

(2)如圖,分別過點P,Q作直線y=-1的垂線,垂足分別為H,R.

由(1)知,PH=PM,同理可得,QM=QR.
因為PH,MN,QR都垂直于直線y=-1,
所以,PH∥MN∥QR,
于是=
所以
因此,Rt△PHN∽Rt△QRN.
于是∠HNP=∠RNQ,從而∠PNM=∠QNM.
點評:本題主要考查了相似三角形的性質,平行的性質以及二次函數和一次函數的綜合應用.
(2)中通過構建相似三角形來求角相等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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如圖,已知點M,N的坐標分別是M (0,-4),N(4,-4),點A是線段MN上一動點,以A為頂點的拋物線y=a(x-h)2+k和y軸交于點E,和直線x=4交于點F,和直線x=2交于點C,這精英家教網里a>0,且a為常數.直線EF和拋物線的對稱軸交于點B,和直線x=2交于點D.
(1)寫出k的值;
(2)求直線EF的函數表達式(表達式中可以含有a,h);
(3)比較線段BA和CD的長短.

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如圖,已知點A、B的坐標分別是(0,0)(4,0),將△ABC繞A點按逆時針方向旋轉90°后得到△A′B′C′
(1)畫出△A′B′C′(不要求寫出作法)
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(1)寫出k的值;
(2)求直線EF的函數表達式(表達式中可以含有a,h);
(3)比較線段BA和CD的長短.

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(1)畫出△A′B′C′(不要求寫出作法)
(2)寫出點C′的坐標.
(3)求旋轉過程中點B所經過的路徑長.

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