Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）若OE=3，AO=5，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）先根據垂徑定理得出

AD

=

CD

，再走圓周角定理即可得出結論；
（2）先根據垂徑定理得出AE=

1

2

AC，在Rt△AOE中，利用勾股定理即可求出AE的長，進而得出結論．

解答：（1）證明：∵OE⊥AC，
∴

AD

=

CD

，
∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC；

（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE=

1

2

AC，∠OEA=90°，
∵OE=3，OA=5，
∴在Rt△AOE中，
AE=

25-9

=4，
∴AC=2AE=8．

點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理及圓周角定理，即平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．