Question

在河的北岸有張莊、李村兩個村莊，張莊離河北岸的距離為1km，李村位于張莊北偏東60°的方向，離張莊4km，若以河的北岸為x軸，張莊在y軸的正半軸上建立如圖所示的直角坐標系（單位：km）．
（1）在直角坐標系中標出張莊、李村的位置，并寫出其坐標；
（2）若在河北岸邊修一水泵站，分別向張莊、李村各鋪一條水管，要使所用的水管最短，水泵站應修在什么地方？在圖中標出其位置，并求出所用水管的長度（答案保留根號）．

Answer 1

解：（1）如圖，張莊的位置在點A（0，1）處，李村的位置在點B（2，3）．
（2）作出點A（0，1）關于x軸的對稱點A₁，其坐標為（0，-1）．連接BA₁交x軸于點P，P點就是水泵站的位置，
如圖，因為A點與A₁點關于x軸對稱，
所以AP=A₁P．
所以水管最短長度為PA+PB=PA₁+PB=A₁B．
在Rt△A₁BC中，A₁C=4，BC=2，
所以A₁B==2．
即水管最短的長度為2km．
分析：（1）結合題意和圖形，先在直角坐標系中標出張莊、李村的位置，再根據點與坐標的關系寫出其坐標；
（2）作出點A關于x軸的對稱點A₁，連接BA₁交x軸于點P，P點就是水泵站的位置，再根據勾股定理求所用水管的長度．
點評：本題考查了：1、在平面直角坐標系中確定點的坐標，2、在平面直角坐標系中用軸對稱和勾股定理求最短距離．此類題型是個重點也是難點，需要掌握．