Question

（2012•深圳）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接AF、CE，
（1）求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）設AE=a，ED=b，DC=c．請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式．

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD與折疊的性質，易證得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形；
（2）由折疊的性質，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數量關系式為：a²=b²+c²．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC，
由折疊的性質，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四邊形AFCE為菱形；

（2）a、b、c三者之間的數量關系式為：a²=b²+c²．
理由：由折疊的性質，得：CE=AE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，
∴CE=AE=a，
在Rt△DCE中，CE²=CD²+DE²，
∴a、b、c三者之間的數量關系式為：a²=b²+c²．

點評：此題考查了矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用，注意折疊中的對應關系．