Question

如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有10個不同的點P₁，P₂，…P₁₀，記M_i=AP_i²+P_iB•P_iC（i=1，2，…，10），那么M₁+M₂+…+M₁₀的值為（ ）

A．4
B．14
C．40
D．不能確定

Answer 1

【答案】分析：作AD⊥BC于D．根據勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，從而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．
解答：解：作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD．
根據勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀=4×10=40．
故選C．
點評：此題主要運用了勾股定理和等腰三角形三線合一的性質．