Question

如圖，在直角坐標系XOY中，已知兩點O₁（3，0）、B（-3，0），⊙O₁與X軸交于原點0和點A，E是Y軸上的一個動點，設點E的坐標為（0，m）．
（1）當點O₁到直線BE的距離等于3時，問直線BE與圓的位置關系如何？求此時點E的坐標及直線BE的解析式；
（2）當點E在Y軸上移動時，直線BE與⊙O₁有哪幾種位置關系？直接寫出每種位置關系時的m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當m＞0時，如圖所示：
由已知得BE是⊙O₁的切線，設切點為M，連接O₁M，則O₁M⊥BM，
∴O₁M=3，
∵O₁（3，0）、B（-3，0），
∴BO₁=6，
∴BM===3，
又∵OE⊥BO，
∴Rt△BOE∽Rt△BMO₁，
∴=，即=，
∴OE=，
∴m=，
∴E（0，）
設此時直線BE的解析式是y=kx+m，
將B（-3，0）及E（0，）代入上式，解得，
∴直線BE的解析式為：y=x+，
當m＜0時，E（0，-）
由圓的對稱性可得：k=-，m=-時，直線BE也與⊙O1相切，
同理可得：y=-x-．
（2）當m＞或m＜-時，直線與圓相離，
當m=或m=-時，直線與圓相切，
當-m＜時，直線與圓相交．
分析：（1）根據題意得出⊙O1的半徑，判斷出直線BE與⊙O₁的關系，根據題意畫出直線BE，連接O₁M，由利用勾股定理求出BM的長，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO₁∽Rt△BOE，求出BE的長，進而得出E點坐標，用帶定系數法即可求出直線BE的解析式，根據對稱的性質可知當m＜0時的直線解析式；
（2）根據（1）所求出的m的值，分三種情況進行討論，即可得出直線BE與⊙O₁的位置關系．
點評：本題考查的是直線與圓的位置關系及坐標與圖形性質，在解答（1）時一定要注意符合條件的直線有兩條，這是此題易忽略的地方．