Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個平面圖形，折痕EF不經過A點（E、F是該矩形邊界上的點），折疊后點A落在A′處，給出以下判斷：

①當四邊形A^，CDF為正方形時，EF=

②當EF=時，四邊形A′CDF為正方形

③當EF=時，四邊形BA′CD為等腰梯形；

④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，EF=。

其中正確的是       （把所有正確結論序號都填在橫線上）。

 

Answer 1

【答案】

①③④。

【解析】根據相關知識逐一作出判斷：

①∵AB=1，BC=2，∴如圖，

當四邊形A′CDF為正方形時，A′C="CD=" A′F=2，A′F⊥BC。

∴A′E=2。∴根據勾股定理得EF=。判斷①正確。

②當EF=時，由①知，只要EF與AB成45⁰角即可，此時的EF與①中的EF平行即可，這時，除①的情況外，其它都不構成正方形。判斷①錯誤。

③當EF=時，由勾股定理知BD=，∴此時，EF與BD重合。

由折疊對稱和矩形的性質知，CD="AB=" A′B，且CD與 A′B不平行。

如圖，

過點A′作A′G⊥BD于點G，過點C作CH⊥BD于點FH，則

∵A′B=CD，∠A′BG=∠ABD=∠CDH，∠A′GB =∠CND，

∴△A′GB≌△CHD（AAS）。∴A′G=CH。∴A′C∥BD。

∴四邊形BA′CD為等腰梯形。判斷③正確。

④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知點A′是點A關于BD的對稱點，即A′是點A沿BD折疊得到，所以，EF與BD重合，EF=BD=。判斷④正確。

綜上所述，判斷正確的是①③④。