Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P，Q是直線l上的兩個動點，且點P在第二象限，點Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周長；
（2）設AQ=t＞0，試用含t的代數式表示點P的坐標；
（3）當動點P，Q在直線l上運動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時，記tan∠AOQ=m，若過點A的二次函數y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件：
①6a+3b+2c=0；
②當m≤x≤m+2時，函數y的最大值等于 ，求二次項系數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在函數y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

則OA=OB=1，AB= ，

∴△AOB周長為1+1+ =2+

（2）

解：∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

設∠POB=x，則∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴ ，

∴PB= = ，

過點P作PH⊥OB于H點，

則△PHB為等腰直角三角形，

∵PB= ，

∴PH=HB= ，

∴P（﹣ ，1+ ）．

（3）

解：由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它們的周長相等，則相似比為1，即全等，

∴PB=AQ，

∴ =t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+ ，﹣ ），

∴m= = ﹣1，

∵拋物線經過點A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

對稱軸x=2，取值范圍 ﹣1≤x +1，

①若a＞0，則開口向上，

由題意x= ﹣1時取得最大值 =2 +2，

即（ ﹣1）2a+（ ﹣1）b+c=2 +2，

解得a= ．

②若a＜0，則開口向下，

由題意x=2時取得最大值2 +2，

即4a+2b+c=2 +2，

解得a=﹣2 ﹣2．

綜上所述所求a的值為 或﹣2 ﹣2

【解析】（1）先求出A、B坐標，再求出OB、OA、AB即可解決問題．（2）由△PBO∽△OAQ，得 = ，求出PB，再根據等腰直角三角形性質可以求得點P坐標．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，兩種情形，利用二次函數性質分別求解即可．本題考查二次函數綜合題、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、函數最值問題等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會分類討論，考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質和相似三角形的判定與性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．