Question

已知拋物線y=x²+bx+c，經過點A（0，5）和點B（3，2）
（1）求拋物線的解析式：
（2）現有一半徑為l，圓心P在拋物線上運動的動圓，問⊙P在運動過程中，是否存在⊙P與坐標軸相切的情況？若存在，請求出圓心P的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得
解得，
拋物線的解析式為y=x²-4x+5；

（2）當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況．
設點P坐標為（x₀，y₀），則
當⊙P與y軸相切時，有|x₀|=1，x₀=±1
由x₀=-1，得y₀=1+4×1+5=10，
∴P₁（-1，10），
由x₀=1，得y₀=1-4×1+5=2，
∴P₂（1，2），
當⊙P與x軸相切時有|y₀|=1
∵拋物線開口向上，且頂點在x軸的上方，
∴y₀=1
由y₀=1，得x₀²-4x₀+5=1，
解得x₀=2，
則P₃的坐標是（2，1）
綜上所述，符合要求的圓心P有三個，其坐標分別為：P₁（-1，10），P₂（1，2），P₃（2，1）．
分析：（1）利用待定系數法把已知坐標代入拋物線解析式即可；
（2）設點P坐標為（x₀，y₀），當⊙P在運動過程中，存在⊙P與坐標軸相切的情況（⊙P與y軸相切；⊙P與x軸相切）．
點評：本題綜合考查的是直線與圓的知識以及二次函數的相關知識點，難度較大．