Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD內一動點，滿足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，過點D作DF⊥BE交BE的延長線于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）用等式表示線段EF，DF，BE之間的數量關系，并證明；

（3）連接CE，若AB＝2，請直接寫出線段CE長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝DF+BE，證明見解析；（3）CE的最小值為．

【解析】

（1）依題意補全圖形；

（2）過點A作AM⊥FD交FD的延長線于點M，可證四邊形AEFM是矩形，由“AAS”可證△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可證矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得結論；

（3）取AB中點O，連接OC，由勾股定理可求OC＝5，由點E在以O為圓心，OB為半徑的圓上，可得當點E在OC上時，CE有最小值，即可求解．

解：（1）依題意補全圖形，如圖，

（2）線段EF，DF，BE的數量關系為：EF＝DF+BE，

理由如下：如圖，過點A作AM⊥FD交FD的延長線于點M，

∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，

∴四邊形AEFM是矩形，

∴∠DAE+∠MAD＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，

∴∠BAE＝∠MAD．

又∵∠AEB＝∠M＝90°，

∴△AEB≌△AMD（AAS）

∴BE＝DM，AE＝AM，

∴矩形AEFM是正方形，

∴EF＝MF，

∵MF＝DF+DM，

∴EF＝DF+BE；

（3）如圖，取AB中點O，連接OC，

∵AB＝2

∴OB＝，

∴OC＝＝5，

∵∠AEB＝90°，

∴點E在以O為圓心，OB為半徑的圓上，

∴當點E在OC上時，CE有最小值，

∴CE的最小值為．