Question

【題目】已知：PA=，PB＝4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側．

(1)如圖，當∠APB＝45°時，求AB及PD的長；

(2)當∠APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應∠APB的大小．

Answer 1

【答案】

【1】（1）①如圖11，作AE⊥PB于點E．

∵△APE中，∠APE=45°，，

∴，

．

∵，

∴．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴．…………1分

②解法一：如圖12，因為四邊形ABCD為正方形，可將

△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△，

可得△≌△，,．

∴=90°，=45°，=90°．

∴．分

∴．…………2分

解法二：如圖13，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的 延長線交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，

，．

在Rt△PFG中，可得，．

在Rt△PDF中，可得

．

【2】（2）如圖14所示，將△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△， PD 的最大值即為的最大值.

∵△中，，，，

且P、D兩點落在直線AB的兩側，

∴當三點共線時，取得最大值（見圖15）.

此時，即的最大值為6. …………4分

此時∠APB=180°－=135°. …………5分

【解析】

（1）作輔助線，過點A作AE⊥PB于點E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根據三角函數可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根據勾股定理可將AB的值求出；
求PD的值有兩種解法，解法一：可將△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD長即為求P′B的長，在Rt△AP′P中，可將PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根據勾股定理可將P′B的值求出；
解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根據勾股定理可將PD的值求出；
（2）將△PAD繞點A順時針旋轉90°，得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，故當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值，根據P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時∠APB=180°-∠APP'=135°．

(1)①

如圖，作AE⊥PB于點E，

∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，

∴AE＝PE＝×＝1，

∵PB＝4，∴span>BE＝PB﹣PE＝3，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB＝＝．

②解法一：

如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將

△PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB，

可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．

∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°

∴PP′＝PA＝2，

∴PD＝P′B＝＝＝；

解法二：

如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，與DA的

延長線交PB于G．

在Rt△AEG中，

可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．

在Rt△PFG中，

可得PF＝PGcos∠FPG＝PGcos∠ABE＝，FG＝．

在Rt△PDF中，可得，

PD＝＝＝．

(2)如圖所示，

將△PAD繞點A順時針旋轉90°

得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，

∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝ PA＝2，PB＝4，

且P、D兩點落在直線AB的兩側，

∴當P'、P、B三點共線時，P'B取得最大值（如圖）

此時P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值為6．

此時∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．

考查綜合應用解直角三角形、直角三角形性質，進行邏輯推理能力和運算能力，在解題過程中通過添加輔助線，確定P′B取得最大值時點P′的位置．