Question

如圖，某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪的方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/時的速度向小島B靠攏．我海軍艦艇立即以21海里/時的速度去營救．
（1）求艦艇靠近漁輪所需的時間．
（2）設艦艇的航向與AC的夾角為α，求α的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據題意，畫出圖形，不難得出∠ACB=120°，已知了軍艦和漁船的速度，那么可設時間，并用時間表示出AB，BC的長，已知了AC的長為10，可根據余弦定理來求出時間的值．
（2）根據（1）中求出的時間，可得出AB、BC的長，那么根據正弦定理即可求出∠α的正弦值．
解答：解：（1）設靠近漁船所需的時間為t小時，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根據余弦定理可得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°
（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-）
化簡得：36t²-9t-10=0
解得：t=或t=-（不合題意舍去）
答：靠近漁船需要的時間為小時．

（2）由（1）得出的時間值可得：AB=14，BC=6
根據正弦定理可得：

sin∠CAB=BC•sin120°÷AB=6×÷14=
即sin∠α=．
點評：本題主要考查了解直角三角形中方向角的應用問題，畫對圖形是解題的關鍵．