Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，E為⊙O的半圓弧上一動點（不與A、B重合），過點E的直線分別交射線AM、BN于D、C兩點，且CB=CE．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若tan∠BAC=，求 的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE．欲證CD為⊙O的切線，只需證明OE⊥CD即可；
（2）作輔助線（延長BE交AM于點G，連接AE，過點D作DT⊥BC于點T）構建相似三角形：△AHG∽△CHB；在Rt△ABC和Rt△DTC中，利用∠BAC的正切函數的定義以及勾股定理求得線段AD（DE）與線段AG（CB）間的數量關系；最后利用相似三角形的對應邊成比例求得===1．
解答：解：（1）證明：連接OE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC為⊙O的切線，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE為半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）延長BE交AM于點G，連接AE，過點D作DT⊥BC于點T．
∵DA、DC、CB為⊙O的切線，
∴DA=DE，CB=CE．
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=，令AB=2x，則BC=x．
∴CE=BC=x；                  
令AD=DE=a，
則在Rt△DTC中，CT=CB-AD=x-a，DC=CE+DE=x+a，DT=AB=2x，
∵DT²=DC²-CT²，∴（2x）²=（x+a）²-（x-a）²．
解之得，x=a；
∵AB為直徑，
∴∠AEG=90°．
∵AD=ED，
∴AD=ED=DG=a．
∴AG=2a；
∵AD、BC為⊙O的切線，AB為直徑，
∴AG∥BC．  
所以△AHG∽△CHB．
∴==．
∴=1．
點評：本題考查了圓的綜合題：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角；直徑所對的圓周角是直角；運用一元二次方程的解法求得圖中相關線段的長度；運用相似三角形的判定與性質進行計算．