Question

某市為了解城市的交通狀況，交通部門對某段道路車輛通行能力進行調查．一般情況下，在這段道路上通行的車流速度v （單位：千米/小時）是車流密度x （單位：輛/千米）的函數．當車流密度達到300輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過30輛/千米時，車流速度均為54千米/小時，調查表明：當30≤x≤300時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤300時，求車流速度v與車流密度x的函數關系式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量y（車流量=車流密度×車流速度，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用當0≤x≤30時，v=54；當30≤x≤300時，設v與x的一次函數關系為v=kx+b （k≠0 ），求出即可；
（2）利用（1）中所求，再利用車流量=車流密度×車流速度，得出函數關系是即可．

解答：解：（1）當0≤x≤30時，v=54；
當30≤x≤300時，設v與x的一次函數關系為v=kx+b （k≠0 ），
由已知得

300k+b=0 30k+b=54

，
解得：

k=- 1 5 b=60

，
綜上所述，v的表達式為 v=

54(0≤x＜30) - 1 5 x+60(30≤x≤300

；

（2）依題意，并由（1）可得
 y=

54x(0≤x＜30) - 1 5 x2+60x(30≤x≤300

，
當0≤x＜30時，y隨x的增大而增大，其最大值小于1620；
30≤x≤300時，y=-

1

5

 （x-l50）²+4500，故當x=150時，其最大值為4500；
綜上所述，故當x=150輛/千米時，車流量的最大值為4500輛/小時．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式等知識，注意自變量取值范圍不同函數解析式不同．